Diketahui (x(t),y(t)) adalah posisi sebuah partikel pada saat t. g adalah percepatan gravitasi. Dan c adalah konstanta gesekan. Selesaikan persamaan turunan sebagai berikut:
(x''(t)2 + (y''(t)+g)^2 )^{1/2} = c*(x'(t)^2 + y'(t)^2)
dengan syarat (x''(t),y''(t)+g) arahnya selalu berlawanan terhadap (x'(t),y'(t)).
Menemukan penyelesaian umum (general solution) persamaan turunan ini akan sama dengan menemukan penyelesaian umum lintasan partikel yang memiliki nilai hambat berbanding lurus dengan kuadrat kecepatan (yang memiliki arah berlawanan.) Di bawah ini adalah penjelasan bagaimana persamaan turunan ini menerangkan gerak partikel tersebut:
Kuadrat kecepatan:
x'(t)^2 + y'(t)^2
Percepatan total:
(x''(t)^2 + y''(t)^2)^{1/2}
Percepatan gravitasi g arahnya ke y negatif.
Maka, hambat/drag (percepatan yang disebabkan hanya oleh gesekan) adalah:
(x''(t)^2 + (y''(t)+g)^2)^{1/2}
Maka, lintasan partikel tersebut memenuhi persamaan turunan sebagai berikut:
(x''(t)^2 + (y''(t)+g)^2 )^{1/2} = c*(x'(t)^2 + y'(t)^2)
Tentunya, arah hambatan udara (x''(t),y''(t)+g) haruslah berlawanan dengan arah kecepatan (x'(t),y'(t)). Setelah didapat posisi awal dan kecepatan partikel, teorema keamungan (uniqueness theorems) menyatakan bahwa lintasan tersebut ditentukan secara tunggal. (uniquely determined.)
- Quote :
- Berikut adalah penyelesaian langsung / forward solution (dengan menggunakan metoda mengerjakan soal mulai dari jawaban [reverse engineering].)
Diketahui sebuah proyektil bergerak dalam gravitasi dengan hambatan udara kuadratik. Persamaannya:
u' = -a * u * sqrt( u^2 + v^2 )
v' = -a * v * sqrt( u^2 + v^2 ) - g
Dimana a adalah koefisien hambatan udara berdasarkan rumus |F| = ma|v|^2 .
Kali silang dan susun ulang persamaannya agar didapat:
a * sqrt( u^2 + v^2 ) * (uv'-vu') = gu'
Substitusikan v=su dan pisahkan variabel:
a * sqrt( 1 + s^2 ) * s' = g*u'/u^3
Integralkan kedua sisi persamaan agar didapat:
g/u^2 + a(v * sqrt( u^2 + v^2 )/u^2 + arcsinh|v/u|) = const
[You must be registered and logged in to see this image.]
- Quote :
- Catatan 1 (keterangan):
' = turunan pertama
'' = turunan kedua
* = operator perkalian
^ = operator pangkat/eksponen
sqrt = akar
Catatan 2:
pada rumus g/u^2 + a(v * sqrt( u^2 + v^2 )/u^2 + arcsinh|v/u|) = const
di atas, berbeda dengan di gambar karena dibagi dengan g/2 untuk menyederhanakan.